3 módszer a két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldására

Tartalomjegyzék:

3 módszer a két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldására
3 módszer a két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldására

Videó: 3 módszer a két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldására

Videó: 3 módszer a két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldására
Videó: 1 урок "Выйди из коробки" - Торбен Сондергаард. 2024, Március
Anonim

Egy "egyenletrendszerben" két vagy több egyenlet egyidejű megoldására kérnek fel. Ha ezekben két különböző változó van, például x és y, vagy a és b, akkor első ránézésre bonyolult lehet a megoldásuk. Szerencsére, ha már tudja, mit kell tennie, a probléma megoldásához csak az algebrai alapkészségekre (és néha a törtek ismeretére) van szüksége. Ha Ön vizuális tanuló, vagy ha a tanára megköveteli, tanulja meg az egyenletek ábrázolását is. A grafikonok hasznosak lehetnek, hogy "lássák, mi történik", vagy ellenőrizzék a munkájukat, de lehet lassabb, mint a többi módszer, és nem minden egyenletrendszer esetén működik jól.

Lépések

1. módszer a 3 -ból: A helyettesítési módszer alkalmazása

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 1. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 1. lépés

1. lépés. Mozgassa a változókat az egyenlet különböző oldalaira

Ez a "helyettesítési" módszer azzal kezdődik, hogy "megoldjuk az x" -et (vagy bármely más változót) az egyik egyenletben. Tegyük fel például, hogy az egyenletei 4x + 2y = 8 és 5x + 3y = 9. Kezdje azzal, hogy megnézi az első egyenletet. Rendezze át úgy, hogy levonja 2y -t mindkét oldalról, hogy megkapja: 4x = 8-2 év.

Ez a módszer gyakran törteket használ a későbbiekben. Ehelyett kipróbálhatja az alábbi eliminációs módszert, ha nem szereti a törteket

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 2. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 2. lépés

2. lépés: Oszd fel az egyenlet mindkét oldalát, hogy "megoldjuk x -re

" Miután az egyenlet egyik oldalán megtalálható az x tag (vagy bármelyik használt változó), ossza fel az egyenlet mindkét oldalát, hogy a változó egyedül legyen. Például:

  • 4x = 8-2 év
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½ y
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 3. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 3. lépés

3. lépés Csatlakoztassa ezt vissza a másik egyenlethez

Győződjön meg arról, hogy visszatér a másik egyenlethez, nem a már használthoz. Ebben az egyenletben cserélje ki a megoldott változót, hogy csak egy változó maradjon. Például:

  • Tudod mit x = 2 - ½ y.
  • A második egyenlete, amelyet még nem módosított, az 5x + 3y = 9.
  • A második egyenletben cserélje x -et "2 - ½y" -ra: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 4. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 4. lépés

4. lépés. Oldja meg a fennmaradó változót

Most már csak egy változót tartalmazó egyenlete van. Használja a szokásos algebra technikákat a változó megoldásához. Ha a változók törlődnek, ugorjon az utolsó lépésre.

Ellenkező esetben választ kap a változók egyikére:

  • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ha nem érti ezt a lépést, tanulja meg a törtek hozzáadását. Ez gyakran, de nem mindig szükséges ehhez a módszerhez.)
  • 10 + ½ y = 9
  • ½ y = -1
  • y = -2
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 5. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 5. lépés

5. lépés: A válasz segítségével oldja meg a másik változót

Ne kövesse el azt a hibát, hogy félig készen hagyja a problémát. A kapott választ vissza kell illesztenie az egyik eredeti egyenletbe, így megoldhatja a másik változót:

  • Tudod mit y = -2
  • Az egyik eredeti egyenlet az 4x + 2y = 8. (Ehhez a lépéshez bármelyik egyenletet használhatja.)
  • Y helyett -2 -et csatlakoztasson: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 6. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 6. lépés

6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha mindkét változó megszűnik

Amikor bedugja x = 3y+2 vagy hasonló választ a másik egyenletbe, akkor csak egy változót tartalmazó egyenletet próbál kapni. Előfordul, hogy végül egy egyenletet kapsz, amelyben nincs változó. Ellenőrizze kétszer a munkáját, és győződjön meg arról, hogy az első (átrendezett) egyenletet a második egyenletbe illeszti, nem csak újra az első egyenletbe. Ha biztos abban, hogy nem követett el hibát, akkor az alábbi eredmények egyikét kapja:

  • Ha olyan egyenletet kap, amely nem tartalmaz változókat és nem igaz (például 3 = 5), akkor a probléma nincs megoldás. (Ha mindkét egyenletet ábrázolná, látná, hogy párhuzamosak és soha nem metszik egymást.)
  • Ha végül olyan változó nélküli egyenletet kap, amely igaz (például 3 = 3), akkor a probléma megvan végtelen megoldások. A két egyenlet pontosan egyenlő egymással. (Ha felrajzolná a két egyenletet, látná, hogy ugyanaz az egyenes.)

2. módszer a 3 -ból: Az eliminációs módszer alkalmazása

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 7. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 7. lépés

1. lépés Keresse meg a törlődő változót

Néha az egyenletek már "törlik" a változót, ha összeadjuk őket. Például, ha egyesíti az egyenleteket 3x + 2y = 11 és 5x - 2y = 13, a "+2y" és a "-2y" törli egymást, és eltávolítja az összes "y" -t az egyenletből. Nézze meg a feladatban szereplő egyenleteket, és találja ki, hogy az egyik változó törlődik -e így. Ha egyikük sem, olvassa el a következő lépést tanácsért.

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 8. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 8. lépés

2. lépés: Szorozzunk meg egy egyenletet, így egy változó törlődik

(Ha a változók már törlődnek, hagyja ki ezt a lépést.) Ha az egyenleteknek nincs olyan változója, amely természetesen törli őket, módosítsa az egyik egyenletet. Ezt a legegyszerűbb egy példával követni:

  • Megvan az egyenletrendszer 3x - y = 3 és - x + 2y = 4.
  • Módosítsuk az első egyenletet úgy, hogy a y változó törlődik. (Választhatsz x hanem ugyanazt a választ kapja a végén.)
  • Az - y az első egyenletnél törölni kell a + 2 év a második egyenletben. Ezt sokszorozással tudjuk megvalósítani - y 2 -vel.
  • Szorozzuk meg az első egyenlet mindkét oldalát 2 -vel, így: 2 (3x - y) = 2 (3), így 6x - 2y = 6. Most a - 2 éves törli a gombbal +2 év a második egyenletben.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 9. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 9. lépés

3. lépés. Kombinálja a két egyenletet

Két egyenlet összekapcsolásához adja hozzá a bal oldalt, majd a jobb oldalt. Ha helyesen állítja be az egyenletet, akkor az egyik változó törlődik. Íme egy példa, amely ugyanazokat az egyenleteket használja, mint az utolsó lépés:

  • Az egyenleteid azok 6x - 2y = 6 és - x + 2y = 4.
  • Kombinálja a bal oldalt: 6x - 2y - x + 2y =?
  • Kombinálja a jobb oldalt: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 10. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 10. lépés

4. lépés. Oldja meg az utolsó változót

Egyszerűsítse a kombinált egyenletet, majd használja az alapvető algebrát az utolsó változó megoldásához. ' Ha az egyszerűsítés után nincsenek változók, ugorjon le a szakasz utolsó lépéséhez.

Ellenkező esetben egyszerű választ kell kapnia az egyik változóra. Például:

  • Neked van 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Csoportosítsa a x és y változók együtt: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • Egyszerűsítés: 5x = 10
  • Megoldás x -re: (5x)/5 = 10/5, így x = 2.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 11. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 11. lépés

5. lépés. Oldja meg a másik változót

Talált egy változót, de még nem fejezte be. Csatlakoztassa válaszát az egyik eredeti egyenlethez, hogy megoldhassa a másik változót. Például:

  • Tudod mit x = 2, és az egyik eredeti egyenlete az 3x - y = 3.
  • Csatlakoztasson 2 helyett x: 3 (2) - y = 3.
  • Oldja meg y -t az egyenletben: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, így 6 = 3 + y
  • 3 = y
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 12. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 12. lépés

6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha mindkét változó megszűnik

Néha a két egyenlet összekapcsolása olyan egyenletet eredményez, amelynek nincs értelme, vagy legalábbis nem segít megoldani a problémát. Ellenőrizze a munkáját elejétől fogva, de ha nem hibázott, írja le válaszként az alábbiak egyikét:

  • Ha a kombinált egyenlet nem tartalmaz változókat és nem igaz (például 2 = 7), akkor igen nincs megoldás ez mindkét egyenleten működni fog. (Ha mindkét egyenletet grafikonon ábrázolja, látni fogja, hogy párhuzamosak, és soha nem keresztezik egymást.)
  • Ha a kombinált egyenlet nem tartalmaz változókat és igaz (például 0 = 0), akkor vannak végtelen megoldások. A két egyenlet valójában azonos. (Ha ábrázolja őket, látni fogja, hogy ugyanaz a vonal.)

3. módszer 3 -ból: Az egyenletek ábrázolása

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 13. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 13. lépés

1. lépés Csak akkor használja ezt a módszert, ha erre utasítást kap

Ha nem számítógépet vagy grafikus számológépet használ, sok egyenletrendszer csak megközelítőleg oldható meg ezzel a módszerrel. A tanár vagy a matematika tankönyve megkövetelheti, hogy használja ezt a módszert, így ismeri az egyenletek ábrázolását vonalként. Ezt a módszert arra is használhatja, hogy kétszer is ellenőrizze a válaszokat a többi módszer közül.

Az alapötlet az, hogy mindkét egyenletet ábrázoljuk, és megtaláljuk azt a pontot, ahol metszik egymást. Az x és y értékek ezen a ponton megadják az x és y értékét az egyenletrendszerben

Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 14. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 14. lépés

2. lépés Oldja meg mindkét egyenletet y -ra

A két egyenletet elkülönítve tartsa algebra segítségével minden egyenletet "y = _x + _" alakúra. Például:

  • Az első egyenleted az 2x + y = 5. Változtassa meg erre y = -2x + 5.
  • A második egyenleted - 3x + 6y = 0. Változtassa meg erre 6y = 3x + 0, majd egyszerűsítse a következőre: y = ½x + 0.
  • Ha mindkét egyenlet azonos, az egész vonal "kereszteződés" lesz. Ír végtelen megoldások.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 15. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 15. lépés

3. lépés. Rajzoljon koordináta -tengelyeket

Rajzoljon egy grafikonpapírra egy függőleges "y tengelyt" és egy vízszintes "x tengelyt". A metszéspontjától kezdve jelölje fel az 1, 2, 3, 4 stb. Számokat az y tengelyen felfelé haladva, majd ismét jobbra haladva az x tengelyen. Jelölje a -1, -2, stb. Számokat az y tengelyen lefelé, balra az x tengelyen.

  • Ha nincs grafikonpapírja, vonalzóval győződjön meg arról, hogy a számok pontosan egymástól vannak elosztva.
  • Ha nagy számokat vagy tizedesjegyeket használ, előfordulhat, hogy másképpen kell méreteznie a diagramot. (Például 10, 20, 30 vagy 0,1, 0,2, 0,3 az 1, 2, 3 helyett).
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 16. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 16. lépés

Lépés 4. Rajzolja le az y-metszést minden egyeneshez

Miután megvan az egyenlet a formában y = _x + _, elkezdheti rajzolni egy pont megrajzolásával, ahol a vonal elfogja az y tengelyt. Ez mindig egy y-érték lesz, amely megegyezik az egyenlet utolsó számával.

  • Korábbi példáinkban egy sor (y = -2x + 5) elfogja az y tengelyt

    5. lépés.. A másik (y = ½x + 0) elfogja 0. (Ezek a grafikon (0, 5) és (0, 0) pontjai.)

  • Ha lehetséges, használjon különböző színű tollat vagy ceruzát a két sorhoz.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 17. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 17. lépés

5. lépés. Használja a lejtőt a vonalak folytatásához

Formájában y = _x + _, az x előtti szám az egyenes meredeksége. Minden alkalommal, amikor x eggyel növekszik, az y-érték nő a meredekség mértékével. Ezzel az információval ábrázolhatja a grafikonon lévő pontot minden egyenes esetén, ha x = 1. (Alternatív megoldásként csatlakoztasson x = 1 -et minden egyenlethez, és oldja meg y esetén.)

  • Példánkban a vonal y = -2x + 5 lejtése van - 2. X = 1 esetén az egyenes 2 -vel lefelé halad az x = 0 pontnál. Rajzolja fel a vonalszakaszt a (0, 5) és (1, 3) közé.
  • A vonal y = ½x + 0 lejtése van ½. X = 1 esetén az egyenes ½ felfelé halad az x = 0 pontnál. Rajzolja meg a vonalszakaszt (0, 0) és (1, ½) között.
  • Ha a vonalak azonos lejtéssel rendelkeznek, a vonalak soha nem metszik egymást, így nincs válasz az egyenletrendszerre. Ír nincs megoldás.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 18. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 18. lépés

6. lépés. Folytassa a vonalak ábrázolását, amíg metszik egymást

Állj meg és nézd meg a grafikonodat. Ha a vonalak már átléptek, ugorjon a következő lépésre. Ellenkező esetben hozzon döntést a sorok tevékenysége alapján:

  • Ha a vonalak egymás felé mozognak, folytassa a pontok ábrázolását ebben az irányban.
  • Ha a vonalak távolodnak egymástól, akkor mozogjunk vissza, és ábrázoljuk a pontokat a másik irányba, kezdve x = -1.
  • Ha a vonalak közel sincsenek egymáshoz, próbálja meg előre ugrani, és rajzoljon távolabbi pontokat, például x = 10.
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 19. lépés
Két változót tartalmazó algebrai egyenletrendszerek megoldása 19. lépés

7. lépés. Keresse meg a választ a kereszteződésben

Miután a két vonal metszi egymást, az x és y értékek a válasz a problémára. Ha szerencséje van, a válasz egész szám lesz. Példáinkban például a két vonal metszi egymást (2, 1) szóval a válaszod x = 2 és y = 1. Bizonyos egyenletrendszerekben a vonalak két egész szám közötti értéken metszik egymást, és hacsak a grafikonja nem túl pontos, akkor nehéz megmondani, hol van ez. Ha ez megtörténik, írhat egy választ, például "x 1 és 2 között", vagy a helyettesítési vagy eliminációs módszerrel keresi a pontos választ.

Videó - A szolgáltatás használatával bizonyos információk megoszthatók a YouTube -lal

Tippek

  • Ellenőrizheti munkáját, ha a válaszokat visszahelyezi az eredeti egyenletekbe. Ha az egyenletek végül igazak (például 3 = 3), akkor a válasz helyes.
  • Az eliminációs módszerben néha meg kell szorozni egy egyenletet negatív számmal, hogy a változó törlődjön.

Figyelmeztetések

Ezek a módszerek nem használhatók, ha van egy kitevőbe emelt változó, például x2. Ha többet szeretne megtudni az ilyen típusú egyenletekről, keresse meg a kétváltozós kvadratikus faktorok leírását.

Ajánlott: