Egy "egyenletrendszerben" két vagy több egyenlet egyidejű megoldására kérnek fel. Ha ezekben két különböző változó van, például x és y, vagy a és b, akkor első ránézésre bonyolult lehet a megoldásuk. Szerencsére, ha már tudja, mit kell tennie, a probléma megoldásához csak az algebrai alapkészségekre (és néha a törtek ismeretére) van szüksége. Ha Ön vizuális tanuló, vagy ha a tanára megköveteli, tanulja meg az egyenletek ábrázolását is. A grafikonok hasznosak lehetnek, hogy "lássák, mi történik", vagy ellenőrizzék a munkájukat, de lehet lassabb, mint a többi módszer, és nem minden egyenletrendszer esetén működik jól.
Lépések
1. módszer a 3 -ból: A helyettesítési módszer alkalmazása
1. lépés. Mozgassa a változókat az egyenlet különböző oldalaira
Ez a "helyettesítési" módszer azzal kezdődik, hogy "megoldjuk az x" -et (vagy bármely más változót) az egyik egyenletben. Tegyük fel például, hogy az egyenletei 4x + 2y = 8 és 5x + 3y = 9. Kezdje azzal, hogy megnézi az első egyenletet. Rendezze át úgy, hogy levonja 2y -t mindkét oldalról, hogy megkapja: 4x = 8-2 év.
Ez a módszer gyakran törteket használ a későbbiekben. Ehelyett kipróbálhatja az alábbi eliminációs módszert, ha nem szereti a törteket
2. lépés: Oszd fel az egyenlet mindkét oldalát, hogy "megoldjuk x -re
" Miután az egyenlet egyik oldalán megtalálható az x tag (vagy bármelyik használt változó), ossza fel az egyenlet mindkét oldalát, hogy a változó egyedül legyen. Például:
- 4x = 8-2 év
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½ y
3. lépés Csatlakoztassa ezt vissza a másik egyenlethez
Győződjön meg arról, hogy visszatér a másik egyenlethez, nem a már használthoz. Ebben az egyenletben cserélje ki a megoldott változót, hogy csak egy változó maradjon. Például:
- Tudod mit x = 2 - ½ y.
- A második egyenlete, amelyet még nem módosított, az 5x + 3y = 9.
- A második egyenletben cserélje x -et "2 - ½y" -ra: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. lépés. Oldja meg a fennmaradó változót
Most már csak egy változót tartalmazó egyenlete van. Használja a szokásos algebra technikákat a változó megoldásához. Ha a változók törlődnek, ugorjon az utolsó lépésre.
Ellenkező esetben választ kap a változók egyikére:
- 5 (2 - ½y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ha nem érti ezt a lépést, tanulja meg a törtek hozzáadását. Ez gyakran, de nem mindig szükséges ehhez a módszerhez.)
- 10 + ½ y = 9
- ½ y = -1
- y = -2
5. lépés: A válasz segítségével oldja meg a másik változót
Ne kövesse el azt a hibát, hogy félig készen hagyja a problémát. A kapott választ vissza kell illesztenie az egyik eredeti egyenletbe, így megoldhatja a másik változót:
- Tudod mit y = -2
- Az egyik eredeti egyenlet az 4x + 2y = 8. (Ehhez a lépéshez bármelyik egyenletet használhatja.)
- Y helyett -2 -et csatlakoztasson: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha mindkét változó megszűnik
Amikor bedugja x = 3y+2 vagy hasonló választ a másik egyenletbe, akkor csak egy változót tartalmazó egyenletet próbál kapni. Előfordul, hogy végül egy egyenletet kapsz, amelyben nincs változó. Ellenőrizze kétszer a munkáját, és győződjön meg arról, hogy az első (átrendezett) egyenletet a második egyenletbe illeszti, nem csak újra az első egyenletbe. Ha biztos abban, hogy nem követett el hibát, akkor az alábbi eredmények egyikét kapja:
- Ha olyan egyenletet kap, amely nem tartalmaz változókat és nem igaz (például 3 = 5), akkor a probléma nincs megoldás. (Ha mindkét egyenletet ábrázolná, látná, hogy párhuzamosak és soha nem metszik egymást.)
- Ha végül olyan változó nélküli egyenletet kap, amely igaz (például 3 = 3), akkor a probléma megvan végtelen megoldások. A két egyenlet pontosan egyenlő egymással. (Ha felrajzolná a két egyenletet, látná, hogy ugyanaz az egyenes.)
2. módszer a 3 -ból: Az eliminációs módszer alkalmazása
1. lépés Keresse meg a törlődő változót
Néha az egyenletek már "törlik" a változót, ha összeadjuk őket. Például, ha egyesíti az egyenleteket 3x + 2y = 11 és 5x - 2y = 13, a "+2y" és a "-2y" törli egymást, és eltávolítja az összes "y" -t az egyenletből. Nézze meg a feladatban szereplő egyenleteket, és találja ki, hogy az egyik változó törlődik -e így. Ha egyikük sem, olvassa el a következő lépést tanácsért.
2. lépés: Szorozzunk meg egy egyenletet, így egy változó törlődik
(Ha a változók már törlődnek, hagyja ki ezt a lépést.) Ha az egyenleteknek nincs olyan változója, amely természetesen törli őket, módosítsa az egyik egyenletet. Ezt a legegyszerűbb egy példával követni:
- Megvan az egyenletrendszer 3x - y = 3 és - x + 2y = 4.
- Módosítsuk az első egyenletet úgy, hogy a y változó törlődik. (Választhatsz x hanem ugyanazt a választ kapja a végén.)
- Az - y az első egyenletnél törölni kell a + 2 év a második egyenletben. Ezt sokszorozással tudjuk megvalósítani - y 2 -vel.
- Szorozzuk meg az első egyenlet mindkét oldalát 2 -vel, így: 2 (3x - y) = 2 (3), így 6x - 2y = 6. Most a - 2 éves törli a gombbal +2 év a második egyenletben.
3. lépés. Kombinálja a két egyenletet
Két egyenlet összekapcsolásához adja hozzá a bal oldalt, majd a jobb oldalt. Ha helyesen állítja be az egyenletet, akkor az egyik változó törlődik. Íme egy példa, amely ugyanazokat az egyenleteket használja, mint az utolsó lépés:
- Az egyenleteid azok 6x - 2y = 6 és - x + 2y = 4.
- Kombinálja a bal oldalt: 6x - 2y - x + 2y =?
- Kombinálja a jobb oldalt: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. lépés. Oldja meg az utolsó változót
Egyszerűsítse a kombinált egyenletet, majd használja az alapvető algebrát az utolsó változó megoldásához. ' Ha az egyszerűsítés után nincsenek változók, ugorjon le a szakasz utolsó lépéséhez.
Ellenkező esetben egyszerű választ kell kapnia az egyik változóra. Például:
- Neked van 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Csoportosítsa a x és y változók együtt: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Egyszerűsítés: 5x = 10
- Megoldás x -re: (5x)/5 = 10/5, így x = 2.
5. lépés. Oldja meg a másik változót
Talált egy változót, de még nem fejezte be. Csatlakoztassa válaszát az egyik eredeti egyenlethez, hogy megoldhassa a másik változót. Például:
- Tudod mit x = 2, és az egyik eredeti egyenlete az 3x - y = 3.
- Csatlakoztasson 2 helyett x: 3 (2) - y = 3.
- Oldja meg y -t az egyenletben: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, így 6 = 3 + y
- 3 = y
6. lépés. Tudja, mit kell tennie, ha mindkét változó megszűnik
Néha a két egyenlet összekapcsolása olyan egyenletet eredményez, amelynek nincs értelme, vagy legalábbis nem segít megoldani a problémát. Ellenőrizze a munkáját elejétől fogva, de ha nem hibázott, írja le válaszként az alábbiak egyikét:
- Ha a kombinált egyenlet nem tartalmaz változókat és nem igaz (például 2 = 7), akkor igen nincs megoldás ez mindkét egyenleten működni fog. (Ha mindkét egyenletet grafikonon ábrázolja, látni fogja, hogy párhuzamosak, és soha nem keresztezik egymást.)
- Ha a kombinált egyenlet nem tartalmaz változókat és igaz (például 0 = 0), akkor vannak végtelen megoldások. A két egyenlet valójában azonos. (Ha ábrázolja őket, látni fogja, hogy ugyanaz a vonal.)
3. módszer 3 -ból: Az egyenletek ábrázolása
1. lépés Csak akkor használja ezt a módszert, ha erre utasítást kap
Ha nem számítógépet vagy grafikus számológépet használ, sok egyenletrendszer csak megközelítőleg oldható meg ezzel a módszerrel. A tanár vagy a matematika tankönyve megkövetelheti, hogy használja ezt a módszert, így ismeri az egyenletek ábrázolását vonalként. Ezt a módszert arra is használhatja, hogy kétszer is ellenőrizze a válaszokat a többi módszer közül.
Az alapötlet az, hogy mindkét egyenletet ábrázoljuk, és megtaláljuk azt a pontot, ahol metszik egymást. Az x és y értékek ezen a ponton megadják az x és y értékét az egyenletrendszerben
2. lépés Oldja meg mindkét egyenletet y -ra
A két egyenletet elkülönítve tartsa algebra segítségével minden egyenletet "y = _x + _" alakúra. Például:
- Az első egyenleted az 2x + y = 5. Változtassa meg erre y = -2x + 5.
- A második egyenleted - 3x + 6y = 0. Változtassa meg erre 6y = 3x + 0, majd egyszerűsítse a következőre: y = ½x + 0.
- Ha mindkét egyenlet azonos, az egész vonal "kereszteződés" lesz. Ír végtelen megoldások.
3. lépés. Rajzoljon koordináta -tengelyeket
Rajzoljon egy grafikonpapírra egy függőleges "y tengelyt" és egy vízszintes "x tengelyt". A metszéspontjától kezdve jelölje fel az 1, 2, 3, 4 stb. Számokat az y tengelyen felfelé haladva, majd ismét jobbra haladva az x tengelyen. Jelölje a -1, -2, stb. Számokat az y tengelyen lefelé, balra az x tengelyen.
- Ha nincs grafikonpapírja, vonalzóval győződjön meg arról, hogy a számok pontosan egymástól vannak elosztva.
- Ha nagy számokat vagy tizedesjegyeket használ, előfordulhat, hogy másképpen kell méreteznie a diagramot. (Például 10, 20, 30 vagy 0,1, 0,2, 0,3 az 1, 2, 3 helyett).
Lépés 4. Rajzolja le az y-metszést minden egyeneshez
Miután megvan az egyenlet a formában y = _x + _, elkezdheti rajzolni egy pont megrajzolásával, ahol a vonal elfogja az y tengelyt. Ez mindig egy y-érték lesz, amely megegyezik az egyenlet utolsó számával.
-
Korábbi példáinkban egy sor (y = -2x + 5) elfogja az y tengelyt
5. lépés.. A másik (y = ½x + 0) elfogja 0. (Ezek a grafikon (0, 5) és (0, 0) pontjai.)
- Ha lehetséges, használjon különböző színű tollat vagy ceruzát a két sorhoz.
5. lépés. Használja a lejtőt a vonalak folytatásához
Formájában y = _x + _, az x előtti szám az egyenes meredeksége. Minden alkalommal, amikor x eggyel növekszik, az y-érték nő a meredekség mértékével. Ezzel az információval ábrázolhatja a grafikonon lévő pontot minden egyenes esetén, ha x = 1. (Alternatív megoldásként csatlakoztasson x = 1 -et minden egyenlethez, és oldja meg y esetén.)
- Példánkban a vonal y = -2x + 5 lejtése van - 2. X = 1 esetén az egyenes 2 -vel lefelé halad az x = 0 pontnál. Rajzolja fel a vonalszakaszt a (0, 5) és (1, 3) közé.
- A vonal y = ½x + 0 lejtése van ½. X = 1 esetén az egyenes ½ felfelé halad az x = 0 pontnál. Rajzolja meg a vonalszakaszt (0, 0) és (1, ½) között.
- Ha a vonalak azonos lejtéssel rendelkeznek, a vonalak soha nem metszik egymást, így nincs válasz az egyenletrendszerre. Ír nincs megoldás.
6. lépés. Folytassa a vonalak ábrázolását, amíg metszik egymást
Állj meg és nézd meg a grafikonodat. Ha a vonalak már átléptek, ugorjon a következő lépésre. Ellenkező esetben hozzon döntést a sorok tevékenysége alapján:
- Ha a vonalak egymás felé mozognak, folytassa a pontok ábrázolását ebben az irányban.
- Ha a vonalak távolodnak egymástól, akkor mozogjunk vissza, és ábrázoljuk a pontokat a másik irányba, kezdve x = -1.
- Ha a vonalak közel sincsenek egymáshoz, próbálja meg előre ugrani, és rajzoljon távolabbi pontokat, például x = 10.
7. lépés. Keresse meg a választ a kereszteződésben
Miután a két vonal metszi egymást, az x és y értékek a válasz a problémára. Ha szerencséje van, a válasz egész szám lesz. Példáinkban például a két vonal metszi egymást (2, 1) szóval a válaszod x = 2 és y = 1. Bizonyos egyenletrendszerekben a vonalak két egész szám közötti értéken metszik egymást, és hacsak a grafikonja nem túl pontos, akkor nehéz megmondani, hol van ez. Ha ez megtörténik, írhat egy választ, például "x 1 és 2 között", vagy a helyettesítési vagy eliminációs módszerrel keresi a pontos választ.
Videó - A szolgáltatás használatával bizonyos információk megoszthatók a YouTube -lal
Tippek
- Ellenőrizheti munkáját, ha a válaszokat visszahelyezi az eredeti egyenletekbe. Ha az egyenletek végül igazak (például 3 = 3), akkor a válasz helyes.
- Az eliminációs módszerben néha meg kell szorozni egy egyenletet negatív számmal, hogy a változó törlődjön.