Az exponenciális függvények modellezhetik számos helyzet változásának ütemét, beleértve a népesség növekedését, a radioaktív bomlást, a baktériumok növekedését, az összetett kamatot és még sok más dolgot. Kövesse ezeket a lépéseket egy exponenciális egyenlet írásához, ha ismeri a függvény növekedési vagy bomlási sebességét és a csoport kezdeti értékét.
Lépések
1. módszer a 2 -ből: Az arány használata alapként
1. lépés. Tekintsünk egy példát
Tegyük fel, hogy egy bankszámlát 1000 dolláros betéttel indítanak, és a kamatláb évente 3% -os. Keresse meg ezt a függvényt modellező exponenciális egyenletet.
2. lépés. Ismerje az alapformát
Az exponenciális egyenlet formája f (t) = P0(1+r)t/h ahol P.0 a kezdeti érték, t az időváltozó, r az arány és h a szám, amely szükséges ahhoz, hogy t egységei illeszkedjenek az arányhoz.
3. lépés. Csatlakoztassa a P kezdeti értékét és az arány r. F (t) = 1000 (1,03) leszt/h.
4. lépés Keresse meg a h
Gondolja végig az egyenletét. Minden évben 3%-kal nő a pénz, tehát 12 havonta 3%-kal nő a pénz. Mivel t hónapokban kell megadnia, el kell osztania t 12 -vel, tehát h = 12. Az egyenlete f (t) = 1 000 (1,03)t/12. Ha a mértékegységek és a t növekményei megegyeznek, h mindig 1.
2. módszer a 2 -ből: "e" használata alapként
1. lépés. Értse meg, mi az e
Ha az e értéket használja alapként, akkor a "természetes bázist" használja. A természetes bázis használata lehetővé teszi a folyamatos növekedési ütem közvetlen lehúzását az egyenletből.
2. lépés. Tekintsünk egy példát
Tegyük fel, hogy a szén izotópjának 500 grammos mintájának felezési ideje 50 év (a felezési idő az az idő, amely alatt az anyag 50%-kal lebomlik).
3. Lépés. Ismerje az alapformát
Az exponenciális egyenlet formája f (t) = aekt ahol a a kezdeti érték, e a bázis, k a folyamatos növekedési ütem és t az időváltozó.
4. lépés. Csatlakoztassa a kezdeti értéket
Az egyenletben az egyetlen szükséges érték a kezdeti növekedési ütem. Tehát csatlakoztassa a hálózathoz, hogy f (t) = 500e legyenkt
5. lépés Keresse meg a folyamatos növekedési ütemet
A folyamatos növekedési ütem azt jelenti, hogy a grafikon milyen gyorsan változik egy adott pillanatban. Tudja, hogy 50 év múlva a minta 250 grammra csökken. Ez a grafikon egy olyan pontjának tekinthető, amelyet csatlakoztathat. Tehát t 50. Csatlakoztassa, hogy f (50) = 500e értéket kapjon50 ezer. Azt is tudja, hogy f (50) = 250, ezért a bal oldali f (50) értékkel helyettesítse a 250 értéket, hogy megkapja a 250 = 500e exponenciális egyenletet50 ezer. Most, hogy megoldjuk az egyenletet, először osszuk el mindkét oldalt 500 -mal, hogy megkapjuk: 1/2 = e50 ezer. Ezután vegyük mindkét oldal természetes logaritmusát, hogy megkapjuk: ln (1/2) = ln (pl50 ezer. A logaritmusok tulajdonságaival vegye ki a kitevőt a természetes napló argumentumából, és szorozza meg a naplóval. Ennek eredményeként ln (1/2) = 50k (ln (e)). Emlékezzünk vissza, hogy az ln ugyanaz, mint a loge és hogy a logaritmusok tulajdonságai azt mondják, hogy ha a logaritmus alapja és argumentuma megegyezik, akkor az érték 1. Ezért ln (e) = 1. Tehát az egyenlet leegyszerűsödik: ln (1/2) = 50k, és ha elosztjuk 50 -el, megtudjuk, hogy k = (ln (1/2))/50. A számológép segítségével keresse meg a k tizedes közelítését körülbelül -01386 -ra. Vegye figyelembe, hogy ez az érték negatív. Ha a folyamatos növekedési ütem negatív, akkor exponenciális bomlásod van, ha pozitív, akkor exponenciális növekedésed van.
6. lépés Csatlakoztassa a k értéket
Az egyenlete 500e-.01386t.
Tippek
- Érdemes tárolni a k értékét a számológépben, hogy pontosabban kiszámíthassa értékeit, mint tizedes közelítéssel. Az X könnyen hozzáférhető változó, mivel nem kell megnyomnia az "alfa" gombot, hogy elérje azt, de ha grafikont szeretne ábrázolni, akkor feltétlenül használjon konstansnak nevezett változót, különben változók.
- Gyorsan megtanulja, mikor kell használni az egyes módszereket. Általában a problémák könnyebbek az első módszerrel, de vannak olyan esetek, amikor tudod, hogy a természetes alap használata később megkönnyíti a számításokat.